Resuelven inesperadamente un viejo problema de la teoría de computación a partir del estudio de la COVID

Uno de los modelos matemáticos más simples y más utilizados para describir epidemias es el llamado modelo SIR. El modelo considera a la población compartimentada en tres grupos: las personas sanas (S), las personas infectadas (I) y las personas recuperadas e inmunes (R). También estipula que hay dos transiciones posibles entre estos grupos: una tiene lugar cuando una persona sana se convierte en una infectada porque se ha encontrado con otra que lo estaba –ambas pasan a ser personas infectadas– y la otra transición pasa cuando una persona infectada se recupera.

Este modelo puede ser analizado matemáticamente mediante una herramienta llamada red de Petri, un tipo de red que cuenta con compartimentos (los grupos de personas) y transiciones (los cambios de un grupo a otro), con flechas ponderadas para describir las relaciones entre compartimentos y transiciones (véase la figura). A partir de la red de Petri con los parámetros que indican con qué tasa se efectúan las transiciones (estimados experimentalmente), el modelo describe la evolución de los compartimentos y, por tanto, de la epidemia.

^{Relaciones entre los compartimentos y las transiciones en el modelo SIR, ejemplo de una red de Petri. Los círculos simbolizan los compartimentos, los cuadrados representan las transiciones posibles y las flechas indican qué compartimentos participan en qué transiciones. El hecho de que la primera transición dé lugar a dos personas infectadas se indica en la red de Petri con el peso 2.}

Cuando al inicio de la pandemia el investigador de la Universitat Autònoma de Barcelona (UAB) Joachim Kock empezó a modelizar la COVID-19 mediante redes de Petri, quería experimentar con la idea de considerar a las personas no como grupos estadísticos sino como individuos, una idea inspirada en la informática teórica. En este ámbito, las redes de Petri consideran un número determinado de fichas en cada compartimento, que se mueven de acuerdo con las transiciones, de modo que una transición puede tener lugar si hay suficientes fichas en los compartimentos de entrada: se consumen fichas en los compartimentos de entrada y se producen nuevas en los de salida.

En la informática teórica, el uso más importante de las redes de Petri es como modelo de la computación concurrente, pero este estudio presenta un viejo problema todavía no resuelto desde la década de 1980. El problema radica en que existen dos formas distintas de razonar matemáticamente sobre las redes de Petri como modelo de concurrencia, dos «semánticas», que no se han podido reconciliar: una semántica algebraica y una geométrica, con sus ventajas e inconvenientes.

Simular la COVID-19 con las redes de Petri que se utilizan en computación con el fin de considerar individuos «no fue una buena idea desde el punto de vista de la epidemiología», explica Kock, «porque el formalismo de estas redes no permitía trazar a las personas individualmente. Había una obstrucción, y resultó ser la misma obstrucción que impedía reconciliar las semánticas algebraica y geométrica, ¡el viejo problema de las redes de Petri!».

Para encontrar una solución, el profesor de la UAB revisó toda la teoría de las redes de Petri y descubrió que era necesario modificar ligeramente la propia definición para que estas redes admitieran flechas paralelas en lugar de pesos, es decir, pasar de un número que representa el peso de una flecha a un conjunto de flechas con ese número de elementos. «En la teoría de homotopía, uno de mis campos de investigación, este tipo de consideración es habitual», concreta Kock. «En este caso, al introducir los conjuntos de flechas aparecen formas de reordenarlas y simetrías que no existen si tenemos en cuenta solo el peso como número, como sucede en la definición convencional.» Lo que faltaba en las redes de Petri convencionales era exactamente el acceso a la información de las simetrías de una red que proporciona la definición del profesor Joachim Kock. «Con algo de teoría de homotopía y teoría de categorías, demostré que la nueva versión de las redes de Petri admite una reconciliación de las dos semánticas, la algebraica y la geométrica.»

La nueva definición propuesta por Kock ya ha sido utilizada por otros investigadores (Evan Patterson y su equipo en Berkeley, EE. UU.) para desarrollar un programa informático basado en redes de Petri con el objetivo de modelizar epidemias como la COVID. «De esta forma se cierra el círculo. La matemática abstracta ha permitido transferir conocimientos y experiencia de una ciencia a otra, en este caso de forma inesperada. Busqué una cosa y he acabado encontrando otra muy distinta. A veces es productivo experimentar con ideas que no se sabe exactamente hacia dónde te van a llevar», concluye Kock.

Artículo de investigación:

J. Kock, Whole-grain Petri Nets and Processes, Journal of the ACM. Volume 70 Issue 1 February 2023 Article No.: 1 pp 1–58 DOI: 10.1145/3559103. https://doi.org/10.1145/3559103