UABDivulga - Barcelona recerca i innovació

Un fluid, com l’aigua o l’aire, és un conjunt de partícules lligades entre elles per unes forces entre cada dues i de manera homogènia (de la mateixa natura). Aquestes forces, però, no són prou fortes per a mantenir fixes les posicions relatives, i això en facilita el moviment i la deformació.

L’estudi dels fluids, tot i que es tracta d’un tema clàssic, ha guanyat rellevància darrerament degut al desenvolupament de nous materials, amb propietats a voltes sorprenents, a l’estudi dels plasmes en una aproximació macroscòpica i, també, perquè planteja problemes teòrics i matemàtics d’una gran dificultat. El nostre treball s'emmarca en un aspecte molt concret d’un d’aquests problemes.

Si hom vol descriure l’estat i/o evolució d’un fluid es troba amb tres paràmetres importants: la tendència a fer remolins (vorticitat), la tendència a comprimir-se o expandir-se (divergència) i la dissipació d’energia per fregaments interns o interaccions fortes entre les partícules (viscositat).

L’estudi que hem dut a terme fa referència al cas en què aquesta dissipació no es produeix (fluids perfectes). En aquest sentit, en un article recent anterior¹ vàrem estudiar el cas planar (2-dimensional) en què el fluid no es pot comprimir (divergència nul·la) i així conserva el seu volum, encara que no pas la forma, i només pot formar remolins. L’evolució d’aquest líquid està governada per les anomenades «equacions d’Euler». També vàrem analitzar el cas oposat, en què no hi ha remolins (rotacional nul) i el paràmetre principal és la compressió (divergència). En aquest cas, l’evolució està governada per l’anomenada «equació de l’agregació».

En l’estudi dels dos casos, el fluid parteix d’una condició inicial ideal que és constant en una regió limitada de l’espai 2-dimensional i nul·la a la resta (un «patch»). Vàrem veure que amb una formulació adequada (usant els nombres complexos), ambdós problemes (Euler i agregació) són casos extrems d’un mateix fenomen matemàtic i el flux, és a dir, el corrent ocasionat per l’evolució del fluid, és analític respecte del temps. Això significa que el coneixement de totes les característiques del flux en un instant qualsevol de temps donat, permet de conèixer-ne l'evolució en qualsevol moment, tant del passat com del futur fins que no s’esdevingui cap catàstrofe, que canviaria paràmetres essencials i, per tant, el règim de corrent.

En ambdós casos la demostració publicada és completament original i en el segon cas, el de l’agregació, el resultat és nou. El primer (el cas dels líquids o fluids incompressibles) va ser gairebé simultani a un altre estudi d’un equip americà: ho varen publicar uns mesos abans però emprant una aproximació diferent de la nostra. De fet, el nostre mètode s’hi diferencia perquè permet de veure que el cas dels fluids i de l’agregació són dues cares d’un mateix fenomen en el context dels «patches».

La nostra contribució inclou l’ús de tècniques de factura pròpia i força sofisticades. D’altra banda, l’equació de l'agregació ha estat estudiada en espais de qualsevol dimensió i en l’article² veiem que per a l’equació de l’agregació hom té el mateix fenomen d’analiticitat del flux, qualsevol que sigui la dimensió (finita) de l’espai. Això permet de modelitzar fenòmens aparentment molt diferents, com ara el creixement d’una població de bacteris en una placa de cultiu, diversos aspectes de ciències dels materials, l’evolució de la densitat de certes singularitats en superconductors, entre altres. Cal remarcar que aquesta és una raó i una característica de l’ús de les Matemàtiques en la descripció de la Natura. Aquesta recerca s’emmarca en el camp de les Equacions en Derivades Parcials, en què es fa ús de l’Anàlisi Harmònica, de l’Anàlisi Complexa i d’elements de Combinatòria.