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Matemáticas

Referéndums con propuestas alternativas

Hay referéndums de varios tipos. Los que se convocan para decidir si se adopta o no una única propuesta (A) no comportan ningún problema. Ahora bien, puede darse el caso de que a raíz de la propuesta A se plantee otra (B), por lo que hay tres opciones: A, B y dejar las cosas como están (O). En este caso podría ocurrir que la suma de votos de las propuestas A y B fuera más elevada que los de O, pero que esta fuera al mismo tiempo la opción más votada. El artículo nos cuenta estas y otras inconsistencias que puede conllevar este tipo de referéndum.

Referencias

Camps, Rosa; Mora, Xavier; Saumell, Laia. Social choice rules driven by propositional logic. Annals of Mathematics and Artificial Intelligence 70(3): 279–312. 2014. doi: 10.1007/s10472-013-9395-1.

Supongamos que un determinado colectivo debe decidir si adopta o no una determinada propuesta A. Obviamente, conviene una votación donde se pida a cada uno si le parece bien o no adoptar la propuesta en cuestión. Supongamos que vota todo el mundo y en conciencia. Si hay más votos favorables que desfavorables, entonces corresponde adoptar la propuesta A; de lo contrario no.

Hasta aquí ningún problema. Supongamos, sin embargo, que a raíz de la propuesta A se plantea también una propuesta alternativa B. En tal caso, hay tres opciones: la propuesta A, la propuesta B, y ninguna de las dos, es decir, la opción O que consiste en dejar las cosas como están.

¿Cómo proceder en una situación de este tipo? A menudo se pide a cada votante su opción preferida y la opción que recibe más votos es adoptada como decisión colectiva. Así se hizo, por ejemplo, en la consulta ciudadana de mayo de 2010 sobre la reforma de la Diagonal de Barcelona. Sin embargo, este procedimiento es muy criticable, más de lo que parece. Por ejemplo, podría ser que una mayoría absoluta de la población, ponemos un 60%, considerara esencial adoptar o bien la propuesta A o bien la propuesta B, pero al obligarlos a escoger una, sus votos se dividieran entre A y B con unos porcentajes respectivos bastante similares, ponemos 25% y 35%. Los votos serían, pues, 40%: O, 25%: A, 35%: B, lo que daría la victoria a la opción O aunque una mayoría absoluta de votantes son totalmente contrarios a ella.

¿Cómo proceder, pues, cuando se plantean dos propuestas y hay que decidir entre ellas y el statu quo?

En Suiza, donde a menudo se hacen referéndums de este tipo, se pide al votante que responda tres preguntas: 1. ¿Acepta la propuesta A? Sí o no; 2. ¿Acepta la propuesta B? Sí o no; 3. Si ambas propuestas resultaran aceptadas, ¿cuál de ellas adoptaría? A o B. De acuerdo con la manera en que están formuladas las preguntas, el resultado oficial se obtiene examinando primero cada propuesta por separado, a ver si es aceptada por una mayoría; si ambas se encuentran en este caso, entonces se utilizan las respuestas a la pregunta 3 para ver qué propuesta es más preferida.

Supongamos que cada votante responde de manera coherente. Es decir, que una respuesta favorable a A en la primera pregunta y desfavorable a B en la segunda implica una preferencia por A sobre B en la tercera. Y similarmente si intercambiamos A y B. En este caso, cada voto equivale a un orden de preferencia entre las tres opciones, A, B y O, y el método suizo evita totalmente la posibilidad que veíamos más arriba de llegar a escoger una opción que sea puesta en tercer lugar por una mayoría absoluta de votantes.

Sin embargo, el método suizo también tiene sus problemas. Supongamos, por ejemplo, el caso siguiente, donde X > Y indica que la opción X es preferida a Y:
• 40%: O > A > B; rechazan tanto A como B, y en caso de tener que decidir entre las dos propuestas escogerían A;
• 25%: A > B > O; aceptan tanto A como B, y en caso de tener que decidir entre las dos propuestas escogerían A;
• 35%: B > O > A; aceptan B, rechazan A, y de acuerdo con ello prefieren B a A.

En estas condiciones el método suizo lleva a adoptar la propuesta B, que es la única que resulta aprobada por una mayoría, del 60% (35% + 25%). El problema es que una mayoría aún mayor, del 65% (40% + 25%), ha expresado que prefiere A a B, lo que no cuadra con el hecho de que se apruebe B y no A.

Esto no es sólo una especulación académica. De hecho, en 2004 este tipo de inconsistencias se produjeron en un referéndum que se celebró en el cantón de Berna.

En el ejemplo que hemos planteado hay una mayoría del 75% que rechaza A, una mayoría del 65% que prefiere A a B, y una mayoría del 60% que aprueba B. Aunque cada una de estas opiniones es mayoritaria, conjuntamente las tres son incompatibles, por lo que no hay más remedio que abandonar alguna de ellas. Es bastante obvio que lo más razonable es abandonar la menos mayoritaria de las tres. Según esto, en este caso concreto correspondería rechazar tanto A como B y permanecer en el statu quo O.

La idea general es analizar las implicaciones lógicas que están presentes por el hecho de haber tres opciones y dejarse guiar por los apoyos más mayoritarios. Esta idea se debe básicamente a Condorcet, que la propuso en el siglo XVIII, poco antes de la Revolución Francesa.

Cuando hay más de tres opciones, entonces la idea precedente admite varias generalizaciones. Por otra parte, todo depende de las implicaciones lógicas que se estén dando por supuestas. Algunas de estas posibilidades son analizadas con detalle por los autores del presente artículo.

Imagen superior izquierda: Moneda romana del siglo II a.C. donde se representa un ciudadano votando. Fuente: Classical Numismatic Group, Inc.

Rosa Camps
Xavier Mora
Laia Saumell

Departamento de Matemáticas

xmora@mat.uab.cat