Matemàtiques

Es proposa estudiar alguns models matemàtics del món com per exemple com evoluciona la població total del nostre planeta, què significa la dependència sensible respecte a condicions inicials (el conegut com efecte papallona), la presència del qual en els models fa tan difícil la previsió del temps, com de freqüents són els rècords en les dades meteorològiques, què és la llei de Newcomb-Benford, com ha de ser un recipient per tal que ens pugui servir com a clepsidra (rellotge d'aigua) o com funciona la dotació per carboni 14. 

Armengol Gasull. Departament de Matemàtiques de la UAB

La inscripció estarà oberta des del dia 15 de novembre al 20 de desembre de 2019.

Per l'operativa financera es fa un abundant d'eines matemàtiques. L'objectiu proposat per aquest treball és seleccionar algunes d'aquestes eines, descriure-les i aprofundir en la seva aplicació en el camp de les finances. Les aplicacions a estudiar poden trobar-se en diferents àrees com són l'anàlisi de funcions (límits, derivades, integrals), l'àlgebra, matricial, o la probabilitat i estadística entre d'altres.
El treball es dividirà en tres fases: revisió bibliogràfica, selecció d'aplicacions, estudi i aprofundiment en les aplicacions escollides. 

Ramon Prat Casanovas. Departament d'Empresa de la UAB

La inscripció estarà oberta des del dia 15 de novembre al 20 de desembre de 2019

En aquest treball estudiarem una classe especial de corbes (les L-corbes), de superfícies (els L-polígons i les L-superfícies) i de volums (els L-políedres) en l'espai euclidià de dimensió 3. Hi ha una relació íntima entre la longitud, l'àrea i el volum d'aquestes figures i la seva forma a través de la característica d'Euler. Podem donar fórmules exactes pel càlcul de la seva longitud, àrea i volum que es redueixen a comptar punts.
Com que qualsevol corba, superfície o volum a l'espai euclidià de dimensió 3 es pot aproximar tant com calgui per a les mencionades figures, tindrem fórmules per a calcular, amb tota l'aproximació que desitgem, la longitud d'una corba, l'àrea d'una superfície i el volum d'un cos.

Jaume Llibre. Departament de Matemàtiques de la UAB

 La inscripció estarà oberta des del dia 15 de novembre al 20 de desembre de 2019.

Amb un regle i un compàs sabem dibuixar fàcilment un triangle, un quadrat i un hexàgon regular. Pensant una mica més, podem fer el pentàgon i l'octàgon, però, i l'heptàgon? Per què mai ningú ens ha ensenyat a dibuixar un heptàgon regular?

En aquest projecte estudiarem primer els polígons que podem fer o no amb el regle i compàs, i entendrem, amb teories de nombres, el perquè. Aquesta va ser una qüestió estudiada en la Grècia Clàssica que no es va respondre fins a 1837. 

Després li farem dues marques al nostre regle i veurem que, si ho utilitzem d'una certa manera, podem dibuixar l'heptàgon i molts més polígons, i fins i tot trisecar angles, una altra construcció impossible amb regle i compàs. 

Finalment descobrirem que la primera construcció amb regle marcat i compàs per a un polígon d'onze costats s'ha publicat l'any 2014 i que encara hui no es sap si amb aquestes eines podríem dibuixar o no un polígon regular de vint-i-cinc costats. 

Roberto Rubio. Departament de Matemàtiques de la UAB

La inscripció estarà oberta des del dia 15 de novembre al 20 de desembre de 2019

Una de les equacions en diferències més conegudes és la de Fibonacci, que s’escriu com Fn+2=Fn+1+Fn, amb F0=1 i F1=1. Així els primers termes de la successió associada són els coneguts com números de Fibonacci, i són 1,1,2,3,5,8,13,21,... L’objectiu d’aquest treball és en primer lloc entendre la teoria general de les equacions en diferències lineals, que ens permet obtenir fórmules per les seves solucions, i en segon lloc, aplicar aquesta teoria a diferents situacions on aquestes equacions apareixen. Així, per exemple, estudiarem el problema de les Torres de Hanoi, diversos problemes famosos de  teoria de la probabilitat com el de les parelles de ball, o la ruïna del jugador, la llei de Titius-Bode d’astronomia,... Finalment es consideraran algunes qüestions governades per equacions en diferències no lineals com la Conjectura 3x+1, o el mètode de Newton per a resoldre equacions. 

Armengol Gasull. Departament de Matemàtiques de la UAB

La inscripció estarà oberta des del dia 15 de novembre al 20 de desembre de 2019.

Estudiarem com es mouen els cossos celestes (les estrelles, els planetes, el Sol, ...) sobre l'esfera celeste, tenint en compte que els observem des de la superfície de la Terra, i que aquesta gira sobre si mateixa donant una volta completa cada dia, i gira al voltant del Sol donant una volta completa cada any.
Veurem per què canvia segons els períodes de l'any la duració del dia i de la nit, per què hi ha diferents estacions (tardor, hivern, primavera i estiu), ...

Jaume Llibre. Departament de Matemàtiques de la UAB

 La inscripció estarà oberta des del dia 15 de novembre al 20 de desembre de 2019.

Una de les aplicacions de la simulació estocàstica és la d'estimar l'evolució futura dels preus dels actius financers. 
L'objectiu d'aquest treball és descriure el marc teòric de la simulació de preus financers i programar una simulació fent servir algun dels llenguatges habituals per aquesta tasca com poden ser R o Python. 

Ramon Prat Casanovas. Departament d'Empresa de la UAB

La inscripció estarà oberta des del dia 15 de novembre al 20 de desembre de 2019

Es tracta de fer una cerca de les moltíssimes propietats de les còniques, fer-ne una tria, demostrar-les matemàticament si està a l’abast de l’alumne i dibuixar-la amb geo-gebra deixant el dibuix mòbil a la web de geogebra per tal que sigui útil a altres alumnes en el futur.  Per exemple: el focus d’una paràbola pertany al cercle circumscrit a tot  triangle circumscrit a la paràbola i el seu ortocentre està sobre la directriu.

Agustí Reventós Tarrida. Departament de Matemàtiques de la UAB

La inscripció estarà oberta des del dia 15 de novembre al 20 de desembre de 2019

Sigui P un polígon al pla que té tots els seus vèrtexs en punts de coordenades enteres i la seva frontera és una corba tancada i simple. Aleshores l'àrea de P és igual a i-1+b/2, on “i” és el nombre de punts de coordenades enteres que estan a l'interior de P, i “b” és el nombre de punts de coordenades enteres que estan sobre la frontera de P.

Jaume Llibre. Departament de Matemàtiques de la UAB

 La inscripció estarà oberta des del dia 15 de novembre al 20 de desembre de 2019.

I l’utilitzarem entre altres coses per veure que només hi ha 5 políedres regulars

Un triangle, un rectangle, un pentàgon, etc. són exemples de polígons. Un polígon regular és aquell que té tots els costats de la mateixa llargada. Un políedre és un cos que té volum i que totes les seves cares estan formades per polígons. Un políedre regular és un políedre que té totes les seves cares formades per un mateix polígon regular. Provarem que només hi ha cinc políedres regulars: el tetràedre, el cub, l'octàedre, el dodecàedre i l'icosàedre.

Jaume Llibre. Departament de Matemàtiques de la UAB

 La inscripció estarà oberta des del dia 15 de novembre al 20 de desembre de 2019.

En aquest projecte es recolliran demostracions detallades de resultats matemàtics interessants que  siguin senzilles, boniques i formatives. Per exemple, s’estudiaran proves dels Teoremes de Pitàgores, Ptolemeu, Heró, Viviani, altres resultats de geometria clàssica, es demostrarà l’existència d’infinits nombre primers, es trobaran les ternes pitagòriques, ...  S’aprofitarà també per aprendre diverses tècniques de demostració, com el mètode d’inducció o  la reducció a l’absurd.

Armengol GasullDepartament de Matemàtiques de la UAB

La inscripció estarà oberta des del dia 15 de novembre al 20 de desembre de 2019

La successió a què fa referència el títol és la següent seqüència infinita de nombres:
1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211,...
La història que el mateix Conway explica és que uns estudiants seus li van proposar que endevinés el terme següent de la successió, i no se'n va sortir.

Els estudiants li van explicar que en aquesta successió cada terme s'obté de l'anterior mirant-lo i dient-lo en veu alta ("look and say", en anglès): per exemple, primer terme és "un 1", i per tant escrivim "11". Si ara mirem el segon terme, veiem que són "dos 1's", i per tant escrivim "21". Ara veiem que el terme és "un 2, un 1" i per tant escriurem "1211", i així successivament.

Conway es va preguntar immediatament a quina velocitat creixia la llargada d'aquesta successió, i va demostrar que el nombre de dígits augmentava (en el límit) aproximadament un 30,3577269%. De fet, la ràtio exacta satisfà una equació polinòmica de grau...71!

El treball que es proposa consisteix a entendre l'enunciat i la demostració d'aquest resultat, amb la possibilitat d'estudiar una variant nova d'aquest problema i intentar demostrar un resultat anàleg.

Marc Masdeu. Departament de Matemàtiques de la UAB

La inscripció estarà oberta des del dia 15 de novembre al 20 de desembre de 2019