UABDivulga - Barcelona recerca i innovació

La vida en societat comporta que tot sovint calgui combinar diverses preferències individuals en una decisió col·lectiva. Un cas paradigmàtic és l'elecció d'una persona per a un càrrec polític. Altres vegades podem estar escollint entre diverses propostes d'acció, o entre diverses alternatives de caire estètic. En general, la qüestió es planteja sempre que hi ha diverses opcions que són objecte de preferències individuals de caràcter subjectiu.

Fins i tot quan l'objectiu és escollir una sola opció, és natural que la decisió vingui acompanyada d'una quantificació del grau d'acceptació social de les diverses alternatives. Per descomptat, l'elecció ha d'estar d'acord amb aquesta valoració.

La manera més tradicional de quantificar l'acceptació social és que cada individu voti per una sola opció —vot uninominal— i que cada opció sigui valorada per la fracció d'electorat que l'ha escollit. Quan es fa així, els resultats de la votació prenen, per exemple, la forma següent: opció A: 40%, B: 20%, C: 20%, D: 20%.

Aquest procediment té el greu inconvenient que l'opció més votada pot ser al mateix temps la més indesitjada. Per exemple, en el cas anterior podria passar que el 60% de votants que donen suport a les opcions B, C, D estiguéssin tots ells d'acord en considerar l'opció A com la pitjor.

Davant d'això, ja en el segle XV Nicolau de Cusa va proposar que cada votant ordenés totes les opcions per ordre de preferència —vot preferencial— i que cada opció fós valorada per la seva posició mitjana en aquestes ordenacions (o per qualsevol quantitat equivalent, com ara la suma de les posicions obtingudes). Actualment aquest procediment se sol associar al nom de Jean Charles de Borda, un enginyer francès que va tornar a fer la mateixa proposta en el segle XVIII. Amb aquest mètode, els resultats corresponents a l'elecció de més amunt podrien ser, per exemple, les posicions mitjanes següents: A: 2.8, B: 1.8, C: 2.4, D: 3.0, on el valor de A correspon efectivament a l'escenari que hem considerat més amunt (40% x 1 + 60% x 4 = 2.8). Segons aquests valors la victòria correspondria a l'opció B. Amb el mètode de Cusa i Borda està garantit que mai no guanyarà una opció que sigui situada en última posició per una majoria absoluta de votants.

Tanmateix, aquesta opció no té perquè quedar última en l'ordre final (com il·lustra l'exemple precedent, on l'opció A queda penúltima). Similarment, també pot passar que no quedi primera una opció que sigui considerada la millor per una majoria absoluta de votants. En altres paraules, el mètode de Cusa i Borda no respecta el principi de la majoria.

Hi ha altres mètodes per decidir el resultat d'una votació preferencial que sí que respecten el principi de la majoria. Tanmateix, fins ara aquests mètodes donaven només una ordenació final de les opcions, sense una valoració quantitativa a l'estil de les fraccions o posicions mitjanes de més amunt.

Aquesta mancança ha estat resolta en el nostre treball. En ell es demostra matemàticament que entre aquests mètodes d'ordenació que sí que respecten el principi de la majoria n'hi ha un de concret —el mètode dels camins, proposat per Markus Schulze el 1997— que pot ser suplementat amb un procediment que quantifica adequadament l'acceptació social de les diverses opcions.